无穷远极(关于无穷远极的简介)

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首先声明，以下是帮助理解的，有些讲法不严格，但结论都是对的。

所谓的“保号性”，“保序性”，或者更干脆直接叫“比较性”，本质都一样的，也就是如果f >= T，那么lim f >= T，可以用极限定义来证明。

T=0就是所谓的保号性；

如果f >= g，那么f-g >= 0，lim(f-g) >= 0，于是lim f >= lim g，就是所谓的保序性或者比较性。

所谓的局部有界性，就是说lim{x->A}f(x) = B就可以推出f(x)在A的局部有界，这个也是直接从定义得到的。

这个性质特别常用的一种方式就是如果B>0，那么存在d>0使得f(x)在(A-d,A+d)上大于B/2，或者更简单一点直接写成f(x)>0。

这些都是关于函数取值方面的性质，和自变量的变化方式的具体形式x->oo或者x->A没有太必然的关系。

导数当然不一定为0。

比如：

f(x)=[sin(x^2)]/x

f'(x)=[2x^2cosx^2-sinx^2]/x^2=2cos(x^2)-sin(x^2)/x^2

当x^2=2kπ, f'(x)-->2。

数学中的无穷

1、几何学和拓扑学

无限维的空间常用在几何学及拓扑学中，尤其是在分类空间，也就是Eilenberg?MacLane空间。常见的例子包括无限维的复射影空间K(Z,2)，以及无限维的实射影空间K(Z/2Z,1)。

2、分形

分形的结构可以重复的放大，分形可以无限次的放大，但不会变的圆滑，而且仍维持原有的结构，分形的周长是无限的，有些的面积无限，但有些的面积却是有限。像科赫曲线就是有无限周长和有限面积的例子。

3、没有无穷的数学

利奥波德·克罗内克怀疑无限的概念，也怀疑1870年代及1880年代时数学家使用无限的方式。这种怀疑主义形成一种称为有限主义的数学哲学，是属于数学结构主义及数学直觉主义中的一种极端形式。

举一个反例便知：f(z) = 1/z，它在无穷远点的极限是0，是可去奇点。根据扩充复平面内所有奇点的留数和为0知，f(z)在∞的留数等于f(z)在0处留数的相反数，后者等于1，故Res[f(z),∞] = -1。

通过这个例子知道，无穷远点是可取奇点，但留数不一定为0，这和位于复平面上的奇点的性质是不一样的。

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