成矿元素统计分形

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（一）分形模型的建立

设样本个数为N，用r作为随机变量R的度量尺度，设随机变量R的分布密度函数为f（r），储量大于r的概率记为P（r）=P（R≥r），则P（R≥r）= f（r）dr

若分布具有自相似性，即标度不变性，故满足

P（λr）∝P（r）G（λ） （4-4）

式中：λ是变换常系数；G（λ）与r无关，只是与λ有关的函数，可以证明，满足上式的只可能是幂函数，考虑到

P（r）≤1，所以幂指数取负号，即

P（r）∝r-D，D＞0 （4-5）

实际问题中，通常用频率近似代替概率。

设已知区域总数为n，≥r的累积数是N（≥r）=N（r），则累积数的频率是：

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

由此有 ∝r-D，从而得出随机变量分布的统计分形模型：

N（r）=N（≥r）=Cr-D （4-7）

式中：r＞0，D＞0，C为常数，D称为分维数。

分形理论的研究对象是由非线性系统产生的不光滑和不可微的几何形体。分形最早的定义是由Mandelbrot（1982）提出：“Hausdorff维数严格大于拓扑维数的集合称为分形”，但这个定义由于不够严格，也无操作性，所以后来Mandelbrot（1986）又提出了改进的定义（Mandelbort，1977，1982）：“分形是局部与整体有某种方式相似的形”。该定义强调图形中局部与整体之间的自相似，其实这个定义也不是十分完备。Falconer从其性质与特征去认识分形思路更容易让人理解（敖力布等，1996；谢和平等，1997；文志英，2000）：分形是一些简单空间上“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊性质，首先分形是所在空间的紧子集，并具有以下几何性质：①分形集在任意小尺度下有精细的结构；②分形集不能用传统几何语言来描述；③分形集具有某种自相似的形式，可以是近似的或统计的；④分形集的“分形维数”严格大于相应的拓扑维数；⑤分形集在多数情况下可递归定义。

分形可分2类（孙霞等，2003）。一类是规则分形，是按一定的数学规则人为构造出来的，如：Cantor集、Koch曲线、Sierpinski垫片等。它们具有严格自相似性，曲线的任何一个局部与整体都是完全相似的。另一类是无规则分形，自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性是随机的，其特点是不具备严格的相似性，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。它们只是在统计意义上是相似，这种局部与整体的相似性不是在任何尺度上都成立，通常只存在于特定的尺度范围，这些尺度范围称为“无标度区”，即当改变尺度时，在该尺度包含的部分统计学的特征与整体是相似，这种分形也叫做统计分形。

地质体形成过程中受诸多随机过程的制约，而具有不是严格自相似、但符合统计相似性规律的特征。因而统计分形成为了刻画地质体特征的有利工具。如矿床分布、岩石裂隙、品位分布等都具有统计相似性（Deng et al.，2001；申维，2002；赵鹏大，2004），因为这些现象的频数和大小之间的分布具有尺度不变性。目前，借助分形理论分析地质数据的主要目的是讨论其统计意义的分形特征，从统计数据分析中找出稳态规律。

分形的特点是由分维数（Dimension），简称分维来描述的，常记为D。维数分析是分形理论的精华所在，由整数维几何体向分数维几何体的扩展正是分形理论的核心思想，与通常维数不同，分形维数可以是分数，甚至可以是无理数。维数的不同直观地反映了客体复杂程度的差异。分形理论中涉及的维数种类很多，由于研究的分形体不同，其分维计算的具体形式也不同，常用的分维有相似维（Similarity Dimension）D0、信息维（Information Dimension）D1、关联维（Cor-relation Dimension）D2、广义维（Generalized Dimension）等。

（二）参数确定及地质含义

在统计分形模型式（4-7）中有C、D两个参数，确定它们的常用方法是线性回归的最小二乘估计法。

首先，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn）绘在双对数坐标纸上，如果其散点大致分布在一条直线上，则说明此变量分布符合模型式（4-7），直线的斜率便是分维数D的估计值。理论上，将式（4-7）两边取对数化为一元线性回归方程，即：

lnN（r）=lnC-Dlnr （4-8）

令yi=lnN（ri），xi=lnri

用最小二乘法求出斜率D的估计值为：

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

即分维值。

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即

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

分维D定量表征物体分布的密度变化趋势，在地质中的意义已有许多的讨论，在矿床分布模型中分维数D反映的是矿床规模分布的密集程度。D越大矿床分布越密集，反之，就稀疏。参数C一般认为是比例常数，对此参数的地质意义讨论甚少，现从直线拟合过程和D的意义分析，C反映的应是各级矿床数目的容量。

（三）模型参数动态分析

下面以成矿元素品位分布的分形模型为例进行讨论。

在线性回归方程中，lnC是直线在纵轴上的截距，-D是直线斜率。

当D=1时，lnN（r）=lnC-lnr，此时最大等级品位为C，记为lnN（r）=lnC0-lnr，称此直线为理想状态直线。

1）当C不变时，D由小逐渐变大，直线绕着定点（0，lnC）顺时针转动。

D越大，表明元素品位规模的分布相对集中，中间储量的矿床较为发育，且最大储量变小；D越小，表明元素品位规模的分布差异较大，分布相对分散，且最大储量变大。

2）当D不变时，C由小逐渐变大，直线的斜率不变，截距改变，直线向上作平移变动。

C增大，表明各级各元素品位同幂发育，整体分布的均匀度不变；C减小，表明各级品位同幂衰减，整体分布的均匀度不变。

3）当C、D都不变时，表明各级品位处于停滞状态，品位规模结构和均匀度相对稳定，直线保持不变。

4）当D变小，且C变小时，此时直线lnN（r）=lnC-Dlnr与理想状态时的直线lnN（r）=lnC0-lnr在第1象限呈剪刀叉状，交点为（ ， ），直线绕此交点逆时针转动。此状态说明各级品位发育的速度加快，品位规模数以r=exp｛ ｝为界，即r＜exp｛ ｝的品位数减少；r＞exp｛ ｝的品位数增加，最大储量也增大。

5）当D变大，且C变大时，此时直线lnN（r）=lnC-Dlnr与理想状态时的直线lnN（r）=lnC0-lnr在第一象限呈剪刀叉状，与④相比两直线的交叉位置不同，直线绕此交点顺时针转动。此状态说明各级品位发育的速度减慢，品位规模数以r=exp｛ ｝为界，即r＜exp｛ ｝的品位数增加；r＞exp｛ ｝的品位数减少。

6）当D变大，且C变小时，直线lnN（r）=lnC-Dlnr整体在直线lnN（r）=lnC0-lnr的下方，在第1象限内2直线不相交，随着lnr的增大，直线相距越大。说明各级品位数整体衰减，较大品位数衰减的速度比较小品位数衰减的速度相对快些。

7）当D变小，且C变大时，直线lnN（r）=lnC-Dlnr整体在直线lnN（r）=lnC0-lnr的上方，在第1象限内2直线不相交，随着lnr的增大，直线相距越大。说明各级品位数整体发育，较小品位数发育的速度比较大品位数发育的速度相对快些。

综上所述，当D不变时，回归直线随C的变化大小作上下平移变动，说明品位分布状态保持不变，即各级品位同幂增大或减小；当D变动时，无论C如何变化，回归直线均作旋转变动。其中D变大，直线作顺时针旋转，此时品位分布相对密集，较大品位数目减少，较小品位数目增多，其最大元素品位规模相对减小；相反，D变小，直线作逆时针旋转，品位分布相对分散，较小品位减少，较大品位增多，其最大品位规模相对增大。

（四）成矿元素简单分形分布

分形维的计算是统计分形的核心内容，也是刻画不规则性的参量。常使用的统计分形模型为（Mandelbrot，1982；Turcotte，1997）

lgN（r）=-Dlgr+lgC （4-9）

式中：r为统计尺度；C＞0，称为比例常数；D＞0，为分维数；N（r）表示尺度大于r的数目。分维数的求值主要采用一元线性回归方法。

原始数据为海南抱伦金矿钻孔取样的5条勘探线12种成矿元素品位数据计算，不同勘探线元素统计分维值时，尺度按固定系列（r1，r2，…，rn）自小至大选取（图4-13至图4-18，表4-20）。

表4-20 抱伦金矿元素自相似分维值

7号、15号、23号、103号和113号5条勘探线分维值从大到小分别是Mo＞Ag＞Zn＞W＞Pb＞Bi＞As＞Hg＞Sn＞Sb＞Cu＞Au；Sn＞W＞Zn＞Mo＞Cu＞Hg＞Pb＞Bi＞Sb＞Ag＞As＞Au；Zn＞W＞Sn＞Mo＞Pb＞Ag＞Bi＞Cu＞Hg＞Sb＞As＞Au；Zn＞Sn＞Pb＞Mo＞Ag＞Cu＞W＞Hg＞Bi＞As＞Sb＞Au；Sn＞Zn＞Pb＞Sb＞W＞Ag＞Cu＞Bi＞Mo＞As＞Hg＞Au。5条勘探线综合数据分维值从大到小依次是Zn＞Pb＞Sn＞Ag＞W＞Cu=Mo＞Bi＞Sb＞Hg＞As＞Au。

5条勘探线元素分维值都是Au元素最小，综合数据分维值为0.604，说明金在各勘探线中的富集最为强烈。横向上比较，5条勘探线Au元素分维值范围为0.531～0.690，从大到小依次为23线＞15线＞111线＞7线＞103线，指示Au元素富集程度依上述顺序依次增强。23线发现连续矿体的可能性高于其他勘探线，103线连续矿体发育可能程度最低，但是矿石品位更高。因为分维值越低说明元素越趋向于集中，导致矿石品位高而连续性较差。对金品位分维值较高的勘探线可以考虑降低钻孔密度，而对金品位分维值低的勘探线适当增加钻孔密度，以利于工程资金投入的有效利用。

由上述元素相关性分析和聚类分析得到，与金矿化密切相关的元素有Ag、Bi、Pb、Sb、As。5条勘探线Ag元素综合数据分维值为1.402，说明银元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Ag元素分维值范围为1.188～1.873，从大到小依次为7线＞23线＞113线＞111线＞15线，暗示本区不大可能存在独立的银矿（化）体。Bi元素综合数据分维值为1.134，说明Bi元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Bi元素分维值范围为1.034～1.363，从大到小依次为7线＞15线＞111线＞23线＞103线。Pb元素综合数据分维值为1.652，说明Pb元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Pb元素分维值范围为1.400～1.786，从大到小依次为7线＞111线＞23线＞103＞线＞15线。Sb元素综合数据分维值为1.128，说明Sb元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Sb元素分维值范围为0.866～1.636，从大到小依次为111线＞15线＞103线＞7线＞23线。As元素综合数据分维值为0.910，说明As元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线As元素分维值范围为0.714～1.199，从大到小依次为23线＞15线＞103线＞111线＞7线。

图4-13 7线元素自相似分形

图4-14 15线元素自相似分形

图4-15 23线元素自相似分形

图4-16 103线元素自相似分形

图4-17 111线元素自相似分形

图4-18 5条勘探线综合数据自相似分形

可见，虽然元素Ag、Bi、Pb、Sb、As通过聚类分析和相关系数计算，显示与金矿化密切相关，但是这些元素分维值普遍高于金元素分维值，指示这些元素相对金元素富集程度明显要小。相关系数越大，聚类图谱越近，元素分维值大小在各个勘探线的排序也存在不同程度的靠近。

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