赫尔德不等式的简单形式

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如下图：

1、赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hlder）。奥托·赫尔德，出生于斯图加特，毕业于柏林大学，德国数学家。其著名成就包括赫尔德不等式、若尔当-赫尔德定理、赫尔德条件（或称赫尔德连续）。

2、杨氏不等式。在数学上，Young's不等式，指出：假设 a, b, p 和q 是正实数，且有1/p + 1/q = 1 ，那么：等号成立当且仅当，因为这时。杨氏不等式是加权算术几何平均值不等式的特例，杨氏不等式是证明赫尔德不等式的一个快捷方法。

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f||p= 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。

如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q= 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p,q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当时等式成立。

因此：

两边积分，得：.

这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f||p= ||g||q= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得： μ-几乎处处(*)

||f||p= 0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。

张宇的六个重要不等式：三角不等式；几何平均；算数平均与均方根的不等式；杨氏不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；赫尔德不等式。基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

张宇，启航考研数学老师，从事高等数学教学和考研辅导多年，在全国核心期刊发表论文多篇，一篇入选“2007年全球可持续发展大会”。

张宇，博士，《考研数学高等数学18讲》、《考研数学题源探析经典1000题》的作者。

代表作品：

《考研数学高等数学18讲》。

《张宇线性代数9讲》。

《考研数学概率论与数理统计9讲》。

《考研数学题源探析经典1000题》。

《张宇考研数学真题大全解》。

《张宇考研数学闭关修炼一百八十题》。

《考研数学命题人终极预测8套卷》。

《张宇考研数学最后4套卷》。

《概率论与数理统计辅导讲义》。

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